Hyvin käyttökelpoinen likiarvo

HERÄTKÄÄ!-LEHDEN MEKSIKON-KIRJEENVAIHTAJALTA

KAIKISTA matematiikassa, luonnontieteissä, tekniikassa ja jokapäiväisessä elämässä käytettävistä luvuista harva on saanut yhtä paljon huomiota kuin pii (π). Pii ”on kiehtonut kautta maailman niin tieteen jättiläisiä kuin amatöörejä”, sanotaan kirjassa Fractals for the Classroom. Jotkut ovat jopa sitä mieltä, että se kuuluu matematiikassa viiden merkittävimmän luvun joukkoon.

Se on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde. Olipa ympyrä minkä kokoinen tahansa, sen kehän pituuden voi laskea kertomalla sen halkaisijan piillä. Ensimmäinen, joka käytti tästä suhteesta kreikkalaista kirjainta π, oli William Jones vuonna 1706, ja tämä kirjain levisi yleiseen käyttöön sen jälkeen, kun sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler oli omaksunut sen vuonna 1737.

Moniin sovelluksiin piin arvo 3,14159 on riittävän tarkka. Piitä ei voida kuitenkaan laskea täsmällisesti. Miksi ei? Koska se on irrationaalinen luku, toisin sanoen se ei ole kokonais- eikä murtoluku. Kun se kirjoitetaan desimaalilukuna, se on päättymätön. Sille voidaan laskea loputtomasti desimaaleja. Silti matemaatikot laskevat kovalla työllä piille pitkäveteisiä numerosarjoja, joissa desimaaleja on aina vain enemmän.

Siitä ei ole tietoa, kuka oivalsi ensimmäisenä, että pii pysyy vakiona ympyrän koosta riippumatta. Mutta tämän päättymättömän luvun täsmällistä arvoa on yritetty saada selville muinaisista ajoista saakka. Babylonialaiset arvioivat piin arvoksi 3 1/8 (3,125), ja egyptiläiset saivat sille hieman epätarkemman arvon: noin 3,16. Kreikkalainen matemaatikko Arkhimedes, joka eli 200-luvulla eaa., on saattanut olla ensimmäinen, joka yritti laskea sitä tieteellisesti, ja hän päätyi likiarvoon 3,14. Ajanlaskumme vuoteen 200 mennessä sen arvoksi oli laskettu luku, joka vastaa arvoa 3,1416. Kiinalaiset ja intialaiset matemaatikot olivat toisistaan riippumatta vahvistaneet tämän arvon 500-luvun alkupuolelle tultaessa. Nykyaikana piille on laskettu tehokkaiden tietokoneiden avulla miljardeja desimaaleja. Niin hyödylliseksi kuin pii on osoittautunutkin, kirja Fractals for the Classroom sanoo, että on silti vaikea löytää tieteellisten laskutoimitusten sovelluksia, joissa piin arvoksi tarvitaan enemmän kuin noin 20-numeroisia lukuja.

Pii esiintyy kaavoissa, joita käytetään monilla aloilla, esimerkiksi fysiikassa, sähkötekniikassa, todennäköisyyslaskennassa, rakennustekniikassa ja merenkulussa. Aivan niin kuin piin numerosarjalla ei ole loppua, näyttää myös siltä, ettei tämän käyttökelpoisen likiarvon käytännön sovelluksillakaan ole loppua.